Quelle est la différence entre une surjection et une injection ?

Une surjection est une correspondance où chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint par au moins un élément de l'ensemble de départ, tandis qu'une injection est une correspondance où chaque élément de l'ensemble de départ est atteint par au plus un élément de l'ensemble d'arrivée. En d'autres termes, une surjection couvre complètement l'ensemble d'arrivée, tandis qu'une injection ne laisse aucun élément de l'ensemble de départ "sans correspondance".

Quelle est l'importance des surjections en mathématiques ?

Les surjections jouent un rôle important en mathématiques car elles permettent de modéliser des relations de correspondance ou de projection entre ensembles. Elles sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'algèbre, l'analyse, la topologie et la théorie des ensembles. Les surjections sont également étudiées en relation avec d'autres propriétés des fonctions, telles que l'injection et la bijection.

Comment peut-on prouver qu'une fonction est une surjection ?

Pour prouver qu'une fonction est une surjection, il faut montrer que pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée, il existe au moins un élément de l'ensemble de départ qui lui est associé. Cela peut être fait en utilisant différentes méthodes, telles que la construction d'une formule explicite pour l'antécédent de chaque élément de l'ensemble d'arrivée, ou en montrant que l'image de la fonction couvre complètement l'ensemble d'arrivée.

Synonymes de Surjection : Dictionnaire de Synonymes en Français

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Synonymes les plus proches du mot surjection

application

Autres synonymes de surjection

application surjective
fonction surjective
application surjectif
fonction surjectif
correspondance surjective
application épimorphisme
fonction épimorphisme
application subjective

Définition

En mathématiques, une surjection, ou application surjective, est une correspondance entre deux ensembles telle que chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint par au moins un élément de l'ensemble de départ.
Autrement dit, pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée, il existe au moins un élément de l'ensemble de départ qui lui est associé par la surjection.
Une surjection est également appelée une application surjective ou une fonction surjective.
C'est l'une des trois propriétés fondamentales des fonctions, aux côtés de l'injection et de la bijection.

Exemples

Dans l'ensemble des nombres réels, la fonction exponentielle est une surjection car chaque nombre réel positif a au moins un antécédent.
La projection d'une sphère sur un plan est également une surjection car chaque point du plan a au moins un antécédent sur la sphère.
Dans le contexte de l'algèbre linéaire, une application linéaire peut être une surjection si la famille de vecteurs de départ engendre l'espace de départ.

Expressions courantes

application surjective
fonction surjective
correspondance surjective

Etymologie

Le terme "surjection" provient de la combinaison des mots français "sur" (au-dessus) et "jection" (jet). Il a été introduit en mathématiques au début du XXe siècle pour décrire une fonction qui "jette" tous les éléments d'un ensemble sur un autre ensemble, en les couvrant complètement. L'expression anglaise "onto" a également été utilisée pour désigner cette notion.

Fréquence

spécifique à un certain domaine

Usages courants

La notion de surjection est largement utilisée en mathématiques, en particulier dans les domaines de l'algèbre, de l'analyse et de la topologie. Elle est également utilisée dans d'autres disciplines scientifiques pour modéliser des relations de correspondance ou de projection.

Traductions

Anglais : Onto

Espagnol : Sobreyectiva

Allemand : Surjektiv

Italien : Surgettiva

Portugais : Sobrejetora

Forme grammaticale

nom

Prononciation

syʀʒɛksjɔ̃

Questions - Réponses :

En savoir plus sur Surjection

Question : Quelle est la différence entre une surjection et une injection ?
Réponse : Une surjection est une correspondance où chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint par au moins un élément de l'ensemble de départ, tandis qu'une injection est une correspondance où chaque élément de l'ensemble de départ est atteint par au plus un élément de l'ensemble d'arrivée. En d'autres termes, une surjection couvre complètement l'ensemble d'arrivée, tandis qu'une injection ne laisse aucun élément de l'ensemble de départ "sans correspondance".

Question : Quelle est l'importance des surjections en mathématiques ?
Réponse : Les surjections jouent un rôle important en mathématiques car elles permettent de modéliser des relations de correspondance ou de projection entre ensembles. Elles sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l'algèbre, l'analyse, la topologie et la théorie des ensembles. Les surjections sont également étudiées en relation avec d'autres propriétés des fonctions, telles que l'injection et la bijection.

Question : Comment peut-on prouver qu'une fonction est une surjection ?
Réponse : Pour prouver qu'une fonction est une surjection, il faut montrer que pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée, il existe au moins un élément de l'ensemble de départ qui lui est associé. Cela peut être fait en utilisant différentes méthodes, telles que la construction d'une formule explicite pour l'antécédent de chaque élément de l'ensemble d'arrivée, ou en montrant que l'image de la fonction couvre complètement l'ensemble d'arrivée.

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